Existe alguma regra exata quanto ao uso de her/his ou your nas frases, pois ambos tem o mesmo significado, seu que her é pra quando for mulher e his quando for pra homem, mas porquê não usar your sempre? existe alguma regra específica?
1-
“his” significa seu no sentido de “dele”
“her” significa seu no sentido de “dela”
“your” significa seu no sentido de “de você”, ou “de vocês”.
Exemplos:
Seu livro – o livro dele – his book
Seu livro – o livro dela – her book
Seu livro – o livro de você – your book
1.1-
Se ”her” significa seu no sentindo dela, então essa colocação ”Is she your sister?”, está errada?
1.1.1-
No caso o que se quer dizer é:
Ela é sua irmã. Entendendo-se como sua (de você) segunda pessoa do singular. Linguagem culta seria “tua” , mas quase ninguém usa. 
Se for essa a intenção a frase está correta.
Se dissermos “Is she her sister? estaremos nos referindo a irmã dela.
A concordância vai depender de quem fala/faz (sujeito) e com que se está falando.
Your sister = sua irmã.
His sister = irmã dele
Concordamos com “he” e “you” e não com a palavra sister.
1.1.2-
Hi there Peter!
“He was restarting your router.” – Lembre-se que com a construção com “to be” temos que usar o verbo principal com ING (present continuous or progressive).
Quanto a tradução, nesse caso seria ele estava reiniciando seu (teu/de você – segunda pessoa do singular) roteador.
Se o roteador for dele use “his”
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“He is restarting his router.” – ele está reiniciando o roteador dele.
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“This car is your” (incorrect), say “This is your car.” or “the car is yours”. Nesse tipo de construção se quiser deixar your no final ele assume o formato de pronome possessivo (yours)
Para facilitar memorize:
I – My = meu
You – Your (singular e plural) = teu / teus
He – His = seu (dele)
She – Her = seu (dela)
It – Its = dele e dela (coisas e animais)
We – Our = nosso
They – Their = deles
Esses são os adjetivos possessivos. Eu associei os pronomes pessoas com os respectivos adjetivos.
Os pronomes possessivos seriam: Mine, yours, his, hers, its, ours e theirs (são menos usados que os adjetivos).